勝率から複勝率を導く ― Harvilleモデルの考え方
「1着になる確率」が分かれば、「3着以内に入る確率」も計算できます。その考え方を解説します。
問題設定
各馬の勝率（1着になる確率）が推定できたとします。A馬30%、B馬20%、C馬15%…といった具合です。ではA馬が「2着以内に入る確率」は何%でしょうか。
単純に足せる話ではありません。2着以内に入るには、「1着になる」か「誰かが1着になった上で自分が2着になる」かのどちらかです。後者は条件付き確率になります。
Harvilleモデルの発想
1973年にHarvilleが提案した方法は、直感的で分かりやすいものです。
まず1着馬が決まります。A馬が1着になる確率は30%。では、B馬が1着になった世界を考えましょう（確率20%）。その世界では、残る馬たちで2着を争います。このときA馬が2着になる確率は、B馬を除いた残りの馬の中での相対的な勝率だと考えます。
式で書けば、B馬が1着でA馬が2着になる確率は次のようになります。
P(B) × P(A) ÷ (1 − P(B))
B馬が抜けた分、残りの確率を正規化し直すわけです。これを全ての「1着候補」について足し合わせれば、A馬が2着になる確率が求まります。3着も同様に、1着と2着を除いて計算を続けます。
複勝率＝3着以内に入る確率
この計算を進めると、各馬について「1着になる確率」「2着になる確率」「3着になる確率」が個別に求まります。これらを足せば、3着以内に入る確率——つまり複勝率になります。
この方法の良いところは、勝率と必ず整合する点です。複勝率が勝率を下回ることはありませんし、連対率は必ず勝率以上・複勝率以下になります。同じ確率分布から導出しているので、矛盾が生じません。
モデルの限界
Harvilleモデルには既知の弱点があります。
「1着馬が抜けたあと、残りの馬の相対的な力関係はそのまま」という仮定を置いていますが、現実はそう単純ではありません。強い馬が1着を取れなかった場合、それは何か不利があったということで、2着に来る確率も下がっているはずです。
実際にデータを取ると、Harvilleモデルは人気馬の連対率・複勝率を過大に見積もる傾向があることが知られています。1着を外した強い馬が、必ずしも2着に来るわけではないからです。
この偏りを補正するため、Henery（1981）は確率にべき乗のパラメータを入れる改良版を提案しました。2着以降の計算で確率を少し「なまらせる」ことで、実測値に近づける手法です。
当サイトでの扱い
当サイトの連対率・複勝率は、素のHarvilleモデルで算出しています。補正を入れていないため、上位人気馬の複勝率はやや高めに出る可能性があります。
また、これらはあくまで入力した馬の中での確率です。実際の複勝は出走頭数によって払戻の対象が変わります（7頭以下では2着まで）。当サイトの「複勝率」は純粋に「3着以内に入る確率」を意味しており、実際の複勝馬券の的中確率とは定義が異なる点にご注意ください。
まとめ
Harvilleモデルは、勝率という1つの情報から、連対率・複勝率という別の情報を引き出す仕組みです。追加のデータを必要とせず、勝率とも矛盾しない。シンプルで美しい方法ですが、現実との細かなズレは残ります。
勝率予測ツールで表示される連対率・複勝率は、この方法で導出したものです。